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串的模式匹配算法之kmp


title: 串的模式匹配算法之kmp

tags: 数据结构与算法之美

author: 辰砂


1.引言

首先我们需要了解串的模式算法目的:确定主串中所含子串第一次出现的位置(定位);常见的算法种类: BF算法(又称古典的、经典的、朴素的、穷举的),KMP算法(特点:速度快)。网上有很多帖子,博客写的都特别好,这篇文章也是对自己的一个总结。

2.BF算法

BF算法设计思想:


将主串的第pos个字符和模式的第一个字符比较 若相等,继续逐个比较后续字符;若不等,从主串的下一字符起,重新与模式的第一个字符比较。 直到主串的一个连续子串字符序列与模式相等 。返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号,即匹配成功。否则,匹配失败,返回值 0


1.举例:

假设现在我们面临这样一个问题:有一个文本串S,和一个模式串P,现在要查找P在S中的位置,怎么查找呢?

 

如果用暴力匹配的思路,并假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置,则有:

如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++,继续匹配下一个字符;

如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1) (表示主串的位置回到当前的下一个位置),j = 0。相当于每次匹配失败时,i 回溯,j 被置为0。

    public static int bfMatch(char[] s, char[] p) {int sLen = s.length;int pLen = p.length;int i = 0;int j = 0;while (i < sLen && j < pLen) {if (s[i] == p[j]) {//①如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++i++;j++;} else {//②如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0// i - (j - 1) 表示主串的位置回到当前的下一个位置。i = i - j + 1;j = 0;}}//匹配成功,返回模式串p在文本串s中的位置,否则返回-1if (j == pLen) {return i - j;} else {return -1;}}public static void main(String[] args) {String s = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";String p = "ABCDABD";System.out.println(bfMatch(s.toCharArray(),p.toCharArray()));}

     

2.时间复杂度说明:

若n为主串长度,m为子串长度,最坏情况是 主串前面n-m个位置都部分匹配到子串的最后一位,即这n-m位各比较了m次 最后m位也各比较了1次

总次数为:(n-m)m+m=(n-m+1)m 若m<<n,则算法复杂度o(n*m)< p="">

网上有个很好的例子,故引用:

举个例子,如果给定文本串S“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”,和模式串P“ABCDABD”,现在要拿模式串P去跟文本串S匹配,整个过程如下所示:

1.S[0]为B,P[0]为A,不匹配,执行第②条指令:“如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0”,S[1]跟P[0]匹配,相当于模式串要往右移动一位(i=1,j=0)

2.S[1]跟P[0]还是不匹配,继续执行第②条指令:“如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0”,S[2]跟P[0]匹配(i=2,j=0),从而模式串不断的向右移动一位(不断的执行“令i = i - (j - 1),j = 0”,i从2变到4,j一直为0)

3.直到S[4]跟P[0]匹配成功(i=4,j=0),此时按照上面的暴力匹配算法的思路,转而执行第①条指令:“如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++”,可得S[i]为S[5],P[j]为P[1],即接下来S[5]跟P[1]匹配(i=5,j=1)

4.S[5]跟P[1]匹配成功,继续执行第①条指令:“如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++”,得到S[6]跟P[2]匹配(i=6,j=2),如此进行下去

5.直到S[10]为空格字符,P[6]为字符D(i=10,j=6),因为不匹配,重新执行第②条指令:“如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0”,相当于S[5]跟P[0]匹配(i=5,j=0)

6.至此,我们可以看到,如果按照暴力匹配算法的思路,尽管之前文本串和模式串已经分别匹配到了S[9]、P[5],但因为S[10]跟P[6]不匹配,所以文本串回溯到S[5],模式串回溯到P[0],从而让S[5]跟P[0]匹配。

而S[5]肯定跟P[0]失配。为什么呢?因为在之前第4步匹配中,我们已经得知S[5] = P[1] = B,而P[0] = A,即P[1] != P[0],故S[5]必定不等于P[0],所以回溯过去必然会导致失配。那有没有一种算法,让i 不往回退,只需要移动j 即可呢?

3.KMP算法(主串指针不回溯)

算法思想:利用已经部分匹配的结果而加快模式串的滑动速度?且主串S的指针i不必回溯!可提速到O(n+m)!

算法步骤: 下面先直接给出KMP的算法流程:


假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置

 

如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++,继续匹配下一个字符;

 

如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。

 

换言之,当匹配失败时,模式串向右移动的位数为:失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值(next 数组的求解会在下文的3.3.3节中详细阐述),即移动的实际位数为:j - next[j],且此值大于等于1。

 


很快,你也会意识到next 数组各值的含义:代表当前字符之前的字符串中,有多大长度的相同前缀后缀。例如如果next [j] = k,代表j 之前的字符串中有最大长度为k 的相同前缀后缀。

此也意味着在某个字符失配时,该字符对应的next 值会告诉你下一步匹配中,模式串应该跳到哪个位置(跳到next [j] 的位置)。如果next [j] 等于0或-1,则跳到模式串的开头字符,若next [j] = k 且 k > 0,代表下次匹配跳到j 之前的某个字符,而不是跳到开头,且具体跳过了k 个字符。

public static int kmpMatch(char[] s, char[] p) {int sLen = s.length;int pLen = p.length;int i = 0;int j = 0;while (i < sLen && j < pLen) {if (s[i] == p[j]) {//①如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++i++;j++;} else {j = next[j];}}//匹配成功,返回模式串p在文本串s中的位置,否则返回-1if (j == pLen) {return i - j;} else {return -1;}}

 

为此,定义next[j]函数,表明当模式中第j个字符与主串中相应字符“失配”时,在模式中需重新和主串中该字符进行比较的字符的位置。

1.如何求next()?

1.寻找前缀后缀最长公共元素长度

比如 字符串 ‘a’ 的前缀就是为空,后缀也是为空,所以前缀后缀的意思,是不包括当前字符串,字符串 ‘ab’ 的前缀是a,后缀是b。

定义: 对于P = p0 p1 ...pj-1 pj,寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 ...pk-1 pk = pj- k pj-k+1...pj-1 pj,那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。

比如:

j1234567891011121314151617
模式串abcaabcabcaaabdab
前后缀最长公共元素00011231234562012

 

 

 

2.求next数组

next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀,所以通过第①步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后,只要稍作变形即可:将第①步骤中求得的值整体右移一位,然后初值赋为-1,如下表格所示:

j1234567891011121314151617
模式串abcaabcabcaaabdab
next[j]01112231123456212

 

 

 

 

 

 

3.如何求next函数值

    next[1] = 0;表明主串从下一字符si+1起和模式串重新开始匹配。i = i+1; j = 1;

     

    设next[j] = k,则next[j+1] = ?

     

    ①若pk=pj,则有“p1…pk-1pk”=“pj-k+1…pj-1pj” ,如果在 j+1发生不匹配,说明next[j+1] = k+1 = next[j]+1。

     

    ②若pk≠pj,可把求next值问题看成是一个模式匹配问 题,整个模式串既是主串,又是子串。

     

若pk’=pj,则有“p1…pk’”=“pj-k’+1…pj”, next[j+1]=k’+1=next[k]+1=next[next[j]]+1.

若pk”=pj ,则有“p1…pk””=“pj-k”+1…pj”, next[j+1]=k”+1=next[k’]+1=next[next[k]]+1. next[j+1]=1.

 

 

4.总结

核心的点在于:以前的bf算法是需要i进行回溯,导致时间复杂度O(m*n) ,现在kmp算法的核心是i不进行回溯,而j这个值不确定,根据串的规律,主串前面匹配成功的串前缀和后缀相等的地方不需要匹配即可。这样的时间复杂度是O(m + n)

引用博客例子:

1.最开始匹配时

P[0]跟S[0]匹配失败

 

所以执行“如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]”,所以j = -1,故转而执行“如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++”,得到i = 1,j = 0,即P[0]继续跟S[1]匹配。

 

P[0]跟S[1]又失配,j再次等于-1,i、j继续自增,从而P[0]跟S[2]匹配。

 

P[0]跟S[2]失配后,P[0]又跟S[3]匹配。

 

P[0]跟S[3]再失配,直到P[0]跟S[4]匹配成功,开始执行此条指令的后半段:“如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++”。

 

 

2.P[1]跟S[5]匹配成功,P[2]跟S[6]也匹配成功, ...,直到当匹配到P[6]处的字符D时失配(即S[10] != P[6]),由于P[6]处的D对应的next 值为2,所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配,相当于向右移动:j - next[j] = 6 - 2 =4 位。

3.向右移动4位后,P[2]处的C再次失配,由于C对应的next值为0,所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配,相当于向右移动:j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。

4.移动两位之后,A 跟空格不匹配,模式串后移1 位。

5.P[6]处的D再次失配,因为P[6]对应的next值为2,故下一步用P[2]继续跟文本串匹配,相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。

6.匹配成功,过程结束。

匹配过程一模一样。也从侧面佐证了,next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位,且把初值赋为-1 即可。

代码如下:

void get_next(SString T, int &next[]){i= 1; next[1] = 0; j = 0;while( i<T[0]){if(j==0 || T[i] == T[j]){++i; ++j;next[i] = j;}elsej = next[j];}}

 

kMP算法的时间复杂度

设主串s的长度为n,模式串t长度为m,在KMP算法中求next数组的时间复杂度为O(m),在后面的匹配中因主串s的下标不减即不回溯,比较次数可记为n,所以KMP算法总的时间复杂度为O(n+m)


参考原文:https://blog.csdn.net/vjulyv/article/details/7041827?utm_source=copy